法務局です。

できますが、お勧めできません。

公私混同してしまうと経理上でも問題が起きる可能性が高いからです。

2002,11,1より使用することができるようになりました。詳しくはこちら

使用できる文字は
ローマ字(大文字および小文字)アラビア数字
「&」(アンド)　「'」(アポストロフィー)　「,」(コンマ)　「-」(ハイフン)　
「.」(ピリオド)　「・」(中点)です。

通常はカタカナに直して縦書きに入れます。

英字で横書きにしてもいいのですが、角印の場合、英字の社名はカタカナに直して縦書きに表記するのがお勧めです。
カタカナならば単語が行をまたいで書いてあっても読めますが、英語などは非常に読みづらくなってしまいます。
長い単語は１行に入らなかったり、短い単語は文字間があきすぎてしまいます。
印鑑としても英字表記はバランスが悪くなりがちです。
普段はアルファベット表記している大手の会社でも角印はカタカナを使っていたりしますので、特にこだわりが無ければカタカナにしても良いのではないでしょうか。

基本的に入れる必要はありません。

会社の角印などで 「之印」や「印」などが入っていますが、これは文字配置(レイアウト)の都合で入れたり入れなかったりしているのです。例えば「株式会社長谷川商事」の場合9文字ですので四角の中にレイアウトしてみると
「株式会・社長谷・川商事」と、 丁度3文字づつ均等に配字できます。
ところが「株式会社大谷商事」ですと１文字たりませんので最後に「印」の文字を入れて穴埋めするわけです。
カタカナの名前や画数か極端に少ない文字が入る場合など、すべてがこの通りの理屈ではありませんので気になる方は是非一度ご相談下さい。

社長が変わった場合はその旨を法務局に届け出る必要があります。

代表取締役に就任したときは、2週間以内に登記所（法務局）に行き、氏名と住所の登記申請をすることが必要です。
（商法第一八八条第二項）　このとき、申請書に添付する書類に本人の実印・印鑑証明が必要になることもあります。
また、登記申請を行うときに同時に、代表取締役として使用する印鑑を届け出ることになっていますが、印鑑はこれまでの社長が使っていたもので差し支えありません。一般的に代表取締役印は外周に会社名が彫られ、その中央に「代表取締役印」という役職名が彫ってあります。この形式だと代表取締役が交代しても、そのままその印鑑を使うことができますが、責任の所在が不明確になるという指摘から「取締役社長山田太郎之印」というように個人名まで彫ったものをお使いになっている方もいます。但し個人名が入っている場合は社長交代時に新しく印鑑を作り直す必要があります。（対外的に混乱を避けるため ）
代表取締役印は会社の経営にとって、きわめて重要な印鑑ですから、自分自身で保管し自分自身で確かめて押印するように心がけましょう。

※補足：突然の登記規則の改正等により事情が変わる可能性がありますので、詳しくは法務局にお問い合わせ下さい。